Grup fonamental

En matemàtiques, i en concret en topologia algebraica, el grup fonamental és un grup associat a un determinat espai topològic puntejat que proporciona un mecanisme per determinar en quines condicions es pot deformar contínuament un camí en un altre, on els camins tenen fixats uns punts base d'inici i de final. Aquest grup conté informació sobre la forma bàsica, o forats, de l'espai topològic. El grup fonamental és el primer i més simple grup d'homotopia. El grup fonamental és un invariant topològic: dos espais topològics homeomorfs tenen el mateix grup fonamental.

Els grups fonamentals es poden estudiar emprant la teoria dels espais revestiment, ja que un grup fonamental coincideix amb el grup d'automorfismes del corresponent espai revestiment universal. L'abelianització del grup fonamental es pot identificar amb el primer grup d'homologia de l'espai. Quan l'espai topològic és homeomorf a un complex simplicial, el seu grup fonamental es pot descriure explícitament en termes de generadors i relacions.

Henri Poincaré va definir el grup fonamental l'any 1895 en la seva obra Analysis situs.^[1] Aquest concepte va sorgir en la teoria de superfícies de Riemann, en el context de les investigacions realitzades per Bernhard Riemann, Poincaré i Felix Klein. S'hi descriuen les propietats de monodromia de les funcions a valors complexos, així com una completa classificació topològica de superfícies tancades.